Lozano-Robledo, Alvaro / Escritor
La geometrÃa y la teorÃa de los números son tan antiguas como algunos de los registros históricos más antiguos de la humanidad. Desde la antigüedad, los matemáticos han descubierto muchas interacciones hermosas entre los dos temas y las han registrado en textos clásicos como Elementos de Euclides y Aritmética de Diofanto. Hoy en dÃa, el campo de las matemáticas que estudia las interacciones entre la teorÃa de números y la geometrÃa algebraica se conoce como geometrÃa aritmética.
Este libro es una introducción a la teorÃa de números y la geometrÃa aritmética, y el objetivo del texto es utilizar la geometrÃa como motivación para demostrar los principales teoremas del libro. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es una consecuencia de las herramientas que desarrollamos para encontrar todos los puntos integrales en una lÃnea en el plano. De manera similar, la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss y la teorÃa de las fracciones continuas surgen naturalmente cuando intentamos determinar los puntos integrales en una curva en el plano dado por una ecuación polinomial cuadrática.
Tras una introducción a la teorÃa de las ecuaciones diofánticas, el resto del libro se estructura en tres actos que corresponden al estudio de las soluciones integrales y racionales de curvas lineales, cuadráticas y cúbicas, respectivamente. Este libro describe muchas aplicaciones, incluidas las aplicaciones modernas en criptografÃa; también presenta algunos resultados recientes en geometrÃa aritmética. Con muchos ejercicios, este libro se puede utilizar como texto para un primer curso de teorÃa de números o para un curso posterior de geometrÃa aritmética (o diofántica) en el nivel junior-senior.
