Lozano-Robledo, Alvaro / Escritor
La geometría y la teoría de los números son tan antiguas como algunos de los registros históricos más antiguos de la humanidad. Desde la antigüedad, los matemáticos han descubierto muchas interacciones hermosas entre los dos temas y las han registrado en textos clásicos como Elementos de Euclides y Aritmética de Diofanto. Hoy en día, el campo de las matemáticas que estudia las interacciones entre la teoría de números y la geometría algebraica se conoce como geometría aritmética.
Este libro es una introducción a la teoría de números y la geometría aritmética, y el objetivo del texto es utilizar la geometría como motivación para demostrar los principales teoremas del libro. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es una consecuencia de las herramientas que desarrollamos para encontrar todos los puntos integrales en una línea en el plano. De manera similar, la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss y la teoría de las fracciones continuas surgen naturalmente cuando intentamos determinar los puntos integrales en una curva en el plano dado por una ecuación polinomial cuadrática.
Tras una introducción a la teoría de las ecuaciones diofánticas, el resto del libro se estructura en tres actos que corresponden al estudio de las soluciones integrales y racionales de curvas lineales, cuadráticas y cúbicas, respectivamente. Este libro describe muchas aplicaciones, incluidas las aplicaciones modernas en criptografía; también presenta algunos resultados recientes en geometría aritmética. Con muchos ejercicios, este libro se puede utilizar como texto para un primer curso de teoría de números o para un curso posterior de geometría aritmética (o diofántica) en el nivel junior-senior.
